Στο προηγούμενο άρθρο μου  https://econtopia.gr/h-synarthsh-zhthshs-kai-h-klish/ έθεσα ένα προβληματισμό στους μαθητές σχετικά με την κλίση μιας ευθύγραμμης καμπύλης ζήτησης που περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση της μορφής QD = α + βΡ.

Σε αυτό το Β Μέρος θα δώσουμε την ερμηνεία αυτού του εμφανιζόμενου ως «παράδοξο της κλίσης» μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

‘Έστω η συνάρτηση Ψ = 20 -2Χ  (3), η οποία βέβαια είναι γραμμική της γενικής μορφής

 Ψ = αx + β  (1), όπου το α μας δείχνει την κλίση (συντελεστή διεύθυνσης) της συγκεκριμένης ευθείας.

Και πράγματι εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι το α είναι η κλίση της ευθείας και ισούται με - 2.

Κλίση = εφ θ = εφ (180⁰- ω) = - εφ ω = - 20/10 = - 2

ή  λ = ΔΨ/ΔΧ = ψ2-ψ1/χ2-χ1 = 16-12/2-4 = 4/-2 = -2

ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ζήτησης QD = 20 – 2P  (4), η οποία είναι γραμμικής της γενικής μορφής QD = α + βΡ  (2).

Μέχρι στιγμής, συγκρίνοντας την (2) με την (1), δεν υπάρχει κάτι που θα μας «φανεί περίεργο».

Συγκεκριμένα

• Το ότι στη θέση των α και β στην (1) έχουμε βάλει το β και α στην (2) ασφαλώς δεν μας ενδιαφέρει, δεδομένου ότι αυτές τις δύο σταθερές μπορούμε να τις ονομάσουμε με όποιο γράμμα θέλουμε.
• Και ασφαλώς οι μεταβλητές της (2) είναι QD και Ρ, αντί των Χ και Ψ της (1).

Όμως κάνοντας γραφική παράσταση της (4) ή/και υπολογίζοντας την κλίση της, κάποια «πράγματα» αρχίζουν να μας μπερδεύουν..

Ποια είναι εκείνα που «εμφανίζονται» διαφορετικά:

• Ενώ οι συναρτήσεις Ψ = 20 – 2Χ και QD = 20 – 2P «εμφανίζονται» ίδιες, το μέγιστο Ψ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (1) ισούται με 20, ενώ το μέγιστο Ρ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (2) ισούται με 10..

Στο ανάλογο συμπέρασμα καταλήγουμε και για τα δύο μέγιστα που εμφανίζονται στον οριζόντιο άξονα.

Κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την ονομάζαμε.

• Υπολογίζοντας την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2), καταλήγουμε στο ότι:

Κλίση = εφ θ = εφ (180⁰- ω) = - εφ ω = - 10/20 = - 1/2

ή  λ = ΔΡ/ΔQD = P2-P1/QD2-QD1 = 4-2/12-16 = 2/-4 = - 1/2

Δηλαδή, δύο ευθείες η Ψ = 20 – 2Χ και η QD = 20 – 2P, που «εμφανίζονται» της ίδιας μορφής, η κλίση της πρώτης ισούται με – 2, ενώ της δεύτερης ισούται

 με – 1/2.

Πάλι κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την χαρακτηρίζαμε

 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 

• Ενώ το α στην συνάρτηση Ψ = αX + β εκφράζει (ισούται με) την κλίση της ευθείας, στην συνάρτηση QD = α + βΡ, το αντίστοιχο β εμφανίζεται να μην εκφράζει την κλίση, αλλά το αντίστροφο της κλίσης.

Εάν το β αντιπροσώπευε την κλίση θα ίσχυε ότι β = ΔΡ/ΔQD και όχι β = ΔQD/ΔΡ, το οποίο (σωστά) χρησιμοποιούμε. Πάλι «αντίστροφα» μας φαίνονται.

• Χρησιμοποιήσαμε πολλές φορές τη λέξη «αντίστροφα» και εκεί βρίσκεται η απάντηση στα προηγούμενα που μας προβληματίζουν μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας.

Όπως γνωρίζουμε, στα μαθηματικά, την ανεξάρτητη μεταβλητή (Χ), την μετράμε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στην οικονομία, η ανεξάρτητη μεταβλητή (Ρ) μετριέται στον κάθετο άξονα.

Δηλαδή, στα διαγράμματα οι άξονες είναι αντεστραμμένοι κατά 90 μοίρες.

Και εδώ ακριβώς γίνεται το μπέρδεμα μαθηματικών – οικονομίας. Δηλαδή ότι «πάμε» με τη σωστή μαθηματική λογική του διαγράμματος (1) όπου την κλίση την υπολογίζουμε ως προς τον άξονα xx’ (οριζόντιος άξονας), να υπολογίσουμε την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2) ως προς οριζόντιο άξονα. Όμως, όπως είπαμε, την ανεξάρτητη μεταβλητή που μετράμε στον οριζόντιο άξονα στα μαθηματικά, στην οικονομία την μετράμε στον κάθετο.

ΥΓ. Το σχολικό βιβλίο, στην ανάλυση της QD = α + βΡ, αναφέρει ότι «ο συντελεστής β εξαρτάται από την κλίση της ευθείας». Η λέξη εξαρτάται δείχνει γενικά μια σχέση. Ίσως θα μπορούσε να είναι περισσότερο συγκεκριμένο.