Άρθρα

Η συνάρτηση ζήτησης QD = α + βΡ. Η κλίση της ευθείας. Β Μέρος-Η εξήγηση

Στο προηγούμενο άρθρο μου  https://econtopia.gr/h-synarthsh-zhthshs-kai-h-klish/ έθεσα ένα προβληματισμό στους μαθητές σχετικά με την κλίση μιας ευθύγραμμης καμπύλης ζήτησης που περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση της μορφής QD = α + βΡ.

Σε αυτό το Β Μέρος θα δώσουμε την ερμηνεία αυτού του εμφανιζόμενου ως «παράδοξο της κλίσης» μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

‘Έστω η συνάρτηση Ψ = 20 -2Χ  (3), η οποία βέβαια είναι γραμμική της γενικής μορφής

 Ψ = αx + β  (1), όπου το α μας δείχνει την κλίση (συντελεστή διεύθυνσης) της συγκεκριμένης ευθείας.

Και πράγματι εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι το α είναι η κλίση της ευθείας και ισούται με - 2.

Κλίση = εφ θ = εφ (1800- ω) = - εφ ω = - 20/10 = - 2

ή  λ = ΔΨ/ΔΧ = ψ2-ψ1/χ2-χ1 = 16-12/2-4 = 4/-2 = -2

ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ζήτησης QD = 20 – 2P  (4), η οποία είναι γραμμικής της γενικής μορφής QD = α + βΡ  (2).

Μέχρι στιγμής, συγκρίνοντας την (2) με την (1), δεν υπάρχει κάτι που θα μας «φανεί περίεργο».

Συγκεκριμένα

  • Το ότι στη θέση των α και β στην (1) έχουμε βάλει το β και α στην (2) ασφαλώς δεν μας ενδιαφέρει, δεδομένου ότι αυτές τις δύο σταθερές μπορούμε να τις ονομάσουμε με όποιο γράμμα θέλουμε.
  • Και ασφαλώς οι μεταβλητές της (2) είναι QD και Ρ, αντί των Χ και Ψ της (1).

Όμως κάνοντας γραφική παράσταση της (4) ή/και υπολογίζοντας την κλίση της, κάποια «πράγματα» αρχίζουν να μας μπερδεύουν..

Ποια είναι εκείνα που «εμφανίζονται» διαφορετικά:

  • Ενώ οι συναρτήσεις Ψ = 20 – 2Χ και QD = 20 – 2P «εμφανίζονται» ίδιες, το μέγιστο Ψ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (1) ισούται με 20, ενώ το μέγιστο Ρ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (2) ισούται με 10..

Στο ανάλογο συμπέρασμα καταλήγουμε και για τα δύο μέγιστα που εμφανίζονται στον οριζόντιο άξονα.

Κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την ονομάζαμε.

  • Υπολογίζοντας την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2), καταλήγουμε στο ότι:

Κλίση = εφ θ = εφ (1800- ω) = - εφ ω = - 10/20 = - 1/2

ή  λ = ΔΡ/ΔQD = P2-P1/QD2-QD1 = 4-2/12-16 = 2/-4 = - 1/2

Δηλαδή, δύο ευθείες η Ψ = 20 – 2Χ και η QD = 20 – 2P, που «εμφανίζονται» της ίδιας μορφής, η κλίση της πρώτης ισούται με – 2, ενώ της δεύτερης ισούται

 με – 1/2.

Πάλι κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την χαρακτηρίζαμε

 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 

  • Ενώ το α στην συνάρτηση Ψ = αX + β εκφράζει (ισούται με) την κλίση της ευθείας, στην συνάρτηση QD = α + βΡ, το αντίστοιχο β εμφανίζεται να μην εκφράζει την κλίση, αλλά το αντίστροφο της κλίσης.

Εάν το β αντιπροσώπευε την κλίση θα ίσχυε ότι β = ΔΡ/ΔQD και όχι β = ΔQD/ΔΡ, το οποίο (σωστά) χρησιμοποιούμε. Πάλι «αντίστροφα» μας φαίνονται.

  • Χρησιμοποιήσαμε πολλές φορές τη λέξη «αντίστροφα» και εκεί βρίσκεται η απάντηση στα προηγούμενα που μας προβληματίζουν μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας.

Όπως γνωρίζουμε, στα μαθηματικά, την ανεξάρτητη μεταβλητή (Χ), την μετράμε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στην οικονομία, η ανεξάρτητη μεταβλητή (Ρ) μετριέται στον κάθετο άξονα.

Δηλαδή, στα διαγράμματα οι άξονες είναι αντεστραμμένοι κατά 90 μοίρες.

Και εδώ ακριβώς γίνεται το μπέρδεμα μαθηματικών – οικονομίας. Δηλαδή ότι «πάμε» με τη σωστή μαθηματική λογική του διαγράμματος (1) όπου την κλίση την υπολογίζουμε ως προς τον άξονα xx’ (οριζόντιος άξονας), να υπολογίσουμε την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2) ως προς οριζόντιο άξονα. Όμως, όπως είπαμε, την ανεξάρτητη μεταβλητή που μετράμε στον οριζόντιο άξονα στα μαθηματικά, στην οικονομία την μετράμε στον κάθετο.

ΥΓ. Το σχολικό βιβλίο, στην ανάλυση της QD = α + βΡ, αναφέρει ότι «ο συντελεστής β εξαρτάται από την κλίση της ευθείας». Η λέξη εξαρτάται δείχνει γενικά μια σχέση. Ίσως θα μπορούσε να είναι περισσότερο συγκεκριμένο.

Η συνάρτηση ζήτησης QD = α + βΡ και η κλίση

Έστω η συνάρτηση ζήτησης QD = 20 – 2P (1) που βέβαια είναι γραμμική (της γενικής μορφής) QD = α + βΡ.

Αν πάρουμε δύο ζεύγη τιμών και ζητούμενων ποσοτήτων , έστω Ρ = 2, QD = 16 και

Ρ = 4, QD = 12 και στη συνέχεια υπολογίσουμε το β βάση του τύπου που χρησιμοποιούμε

(β = ΔQD/ΔΡ) θα καταλήξουμε ότι β = - 4/2 = - 2.

Και πράγματι, αυτό εμφανίζεται στην συνάρτηση (1) και ασφαλώς θα επαληθευόταν για οποιοδήποτε άλλο ζεύγος τιμών - ζητούμενων ποσοτήτων, δεδομένου ότι όπως «λέμε» είναι η κλίση της ευθείας η οποία φυσικά παραμένει σταθερή σε όλα τα σημεία της.

Εάν όμως κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη συνέχεια υπολογίστε όπως ξέρετε στα μαθηματικά (με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται με τον άξονα xx’) τον συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) αυτής της ευθείας θα βρείτε ότι η κλίση ισούται με – 2 ή με κάποιο «άλλο αριθμό;»

Αφού το κάνετε μάλλον θα διαπιστώσετε ότι «κάτι δεν πάει καλά..»

Θα έχει ενδιαφέρον για εσας να βρείτε που είναι το πρόβλημα..

Τι να σπουδάσω;

Επιλογή. Δύσκολη διαδικασία. Γίνεται ακόμα δυσκολότερη όταν αφορά το μέλλον και όχι το που θα διασκεδάσουμε το βράδυ (παρόν).

Βέβαια στο "ψάξιμο" του εαυτού μας ώστε να μας αποκαλύψει την τελική του απόφαση σχετικά με το τι θα σπουδάσει υπάρχει το περιβάλλον (γονείς, φίλοι, διαδίκτυο και ειδικοί) που φροντίζει να μας ενημερώνει για την κάθε σχολή, τις επαγγελματικές δυνατότητες, τον εντοπισμό πιθανής κλίσης μας, κ.α.

Όμως πως μπορούμε να γνωρίζουμε αν αυτό που επιλέγουμε τώρα θα είναι το αγαπημένο μας μετά από 20 ή 30 χρόνια;  Μήπως  είναι εύκολο να ορίσουμε με ακρίβεια  τη ζωή μας στο μέλλον; Μερικές φορές είναι δύσκολο ακόμα και να φανταστούμε το μακρινό αύριο.

Κάπου εδώ όμως  ξεκινά μια δεύτερη σειρά ερωτήσεων:

  • Η ενημέρωση είναι αποκομμένη από την έννοια της (συνειδητής ή όχι) προτροπής;
  • Η σημερινή ενημέρωση είναι πάντα αντιπροσωπευτική της μελλοντικής πραγματικότητας;
  • Τα άτομα που μας ενημερώνουν – παρά την αναμφισβήτητη θέλησή τους, είναι και τα κατάλληλα;

Εγώ ο καλοπροαίρετος απαντώ θετικά στα παραπάνω ερωτήματα. Εξακολουθώ όμως να αναρωτιέμαι για τα άγνωστα θέλω του μέλλοντος μου.

Ο χρόνος όμως μας πιέζει για το τώρα. Τώρα λοιπόν η έρευνα, η πληροφόρηση, ο επηρεασμός και η καθοδήγηση τελειώνουν. Τώρα είναι η ώρα των τελικών αποφάσεων. Τώρα πρέπει να γίνουμε σοφοί και να μας προβάλουμε στο μέλλον

Ειλικρινά δεν ξέρω πως θα μπορούσε κανείς να προσφέρει ουσιαστική βοήθεια σε ένα παιδί 17-18 χρονών σε αυτή την απόφασή του, μια και θεωρώ ότι όλα τα προηγούμενα όλοι μας, λίγο, πολύ ή περισσότερο τα έχουμε κάνει.

Το αποτέλεσμα όμως παραμένει αρκετά ομιχλώδες, και μοιάζει σαν να προσπαθούμε να προβλέψουμε αν μετά από “Χ” χρόνια κάποια συγκεκριμένη μέρα θα βρέχει ή όχι. Ασφαλώς μια τέτοια πρόβλεψη είναι αδύνατη. Όμως αν μέσα στο αυτοκίνητό μας  έχουμε  μια ομπρέλα θα μπορέσουμε να αντιμετωπίσουμε την πιθανή νεροποντή. Από την άλλη, αν έχει καλοκαιρία, απλά δεν θα την χρησιμοποιήσουμε.

Αυτό που εννοώ – για να μη μπλέξουμε με μετεωρολογικές προβλέψεις,  είναι ότι ένα από τα στοιχεία που πρέπει να σταθμίσουμε κατά τη διαδικασία επιλογής σχολής, είναι και οι εναλλακτικές λύσεις που το πτυχίο ενδεχομένως θα μας προσφέρει.

Για παράδειγμα, κάποιος πολύ-πολύ γνωστός μου, ξεκίνησε την επαγγελματική του καριέρα από την εκπαίδευση. Αργότερα η νεανική του ανησυχία τον έστειλε με μεταγραφή στον κόσμο των επιχειρήσεων και της ναυτιλίας. Τέλος oι προβληματισμοί που αναφύονται στην ηλικία των 35 και κάτι, τον γύρισαν αποκλειστικά  στην εκπαίδευση.

Αν κάποιος του έλεγε στα 18 του -  όταν αποφάσιζε το τι να σπουδάσει, ότι θα ταξίδευε τόσο πολύ στην  καριέρα του, θα τον χαρακτήριζε τουλάχιστον φαντασιόπληκτο. Να όμως που έτσι του βγήκε. Του βγήκε, γιατί πρώτον το ήθελε, και δεύτερον γιατί το πρώτο του πτυχίο του προσέφερε την δυνατότητα-ευελιξία  για αλλαγές στην επαγγελματική του ζωή.

Καλές αποφάσεις!