Η συνάρτηση ζήτησης QD = α + βΡ. Η κλίση της ευθείας. Β Μέρος-Η εξήγηση

/0 Comments/in , /by

Στο προηγούμενο άρθρο μου  https://econtopia.gr/h-synarthsh-zhthshs-kai-h-klish/ έθεσα ένα προβληματισμό στους μαθητές σχετικά με την κλίση μιας ευθύγραμμης καμπύλης ζήτησης που περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση της μορφής QD = α + βΡ.

Σε αυτό το Β Μέρος θα δώσουμε την ερμηνεία αυτού του εμφανιζόμενου ως «παράδοξο της κλίσης» μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

‘Έστω η συνάρτηση Ψ = 20 -2Χ  (3), η οποία βέβαια είναι γραμμική της γενικής μορφής

 Ψ = αx + β  (1), όπου το α μας δείχνει την κλίση (συντελεστή διεύθυνσης) της συγκεκριμένης ευθείας.

Και πράγματι εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι το α είναι η κλίση της ευθείας και ισούται με - 2.

Κλίση = εφ θ = εφ (1800- ω) = - εφ ω = - 20/10 = - 2

ή  λ = ΔΨ/ΔΧ = ψ2-ψ1/χ2-χ1 = 16-12/2-4 = 4/-2 = -2

ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ζήτησης QD = 20 – 2P  (4), η οποία είναι γραμμικής της γενικής μορφής QD = α + βΡ  (2).

Μέχρι στιγμής, συγκρίνοντας την (2) με την (1), δεν υπάρχει κάτι που θα μας «φανεί περίεργο».

Συγκεκριμένα

  • Το ότι στη θέση των α και β στην (1) έχουμε βάλει το β και α στην (2) ασφαλώς δεν μας ενδιαφέρει, δεδομένου ότι αυτές τις δύο σταθερές μπορούμε να τις ονομάσουμε με όποιο γράμμα θέλουμε.
  • Και ασφαλώς οι μεταβλητές της (2) είναι QD και Ρ, αντί των Χ και Ψ της (1).

Όμως κάνοντας γραφική παράσταση της (4) ή/και υπολογίζοντας την κλίση της, κάποια «πράγματα» αρχίζουν να μας μπερδεύουν..

Ποια είναι εκείνα που «εμφανίζονται» διαφορετικά:

  • Ενώ οι συναρτήσεις Ψ = 20 – 2Χ και QD = 20 – 2P «εμφανίζονται» ίδιες, το μέγιστο Ψ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (1) ισούται με 20, ενώ το μέγιστο Ρ που εμφανίζεται στον κάθετο άξονα στο διάγραμμα (2) ισούται με 10..

Στο ανάλογο συμπέρασμα καταλήγουμε και για τα δύο μέγιστα που εμφανίζονται στον οριζόντιο άξονα.

Κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την ονομάζαμε.

  • Υπολογίζοντας την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2), καταλήγουμε στο ότι:

Κλίση = εφ θ = εφ (1800- ω) = - εφ ω = - 10/20 = - 1/2

ή  λ = ΔΡ/ΔQD = P2-P1/QD2-QD1 = 4-2/12-16 = 2/-4 = - 1/2

Δηλαδή, δύο ευθείες η Ψ = 20 – 2Χ και η QD = 20 – 2P, που «εμφανίζονται» της ίδιας μορφής, η κλίση της πρώτης ισούται με – 2, ενώ της δεύτερης ισούται

 με – 1/2.

Πάλι κάτι σαν «αντίστροφη» λογική θα την χαρακτηρίζαμε

 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 

  • Ενώ το α στην συνάρτηση Ψ = αX + β εκφράζει (ισούται με) την κλίση της ευθείας, στην συνάρτηση QD = α + βΡ, το αντίστοιχο β εμφανίζεται να μην εκφράζει την κλίση, αλλά το αντίστροφο της κλίσης.

Εάν το β αντιπροσώπευε την κλίση θα ίσχυε ότι β = ΔΡ/ΔQD και όχι β = ΔQD/ΔΡ, το οποίο (σωστά) χρησιμοποιούμε. Πάλι «αντίστροφα» μας φαίνονται.

  • Χρησιμοποιήσαμε πολλές φορές τη λέξη «αντίστροφα» και εκεί βρίσκεται η απάντηση στα προηγούμενα που μας προβληματίζουν μεταξύ μαθηματικών και οικονομίας.

Όπως γνωρίζουμε, στα μαθηματικά, την ανεξάρτητη μεταβλητή (Χ), την μετράμε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στην οικονομία, η ανεξάρτητη μεταβλητή (Ρ) μετριέται στον κάθετο άξονα.

Δηλαδή, στα διαγράμματα οι άξονες είναι αντεστραμμένοι κατά 90 μοίρες.

Και εδώ ακριβώς γίνεται το μπέρδεμα μαθηματικών – οικονομίας. Δηλαδή ότι «πάμε» με τη σωστή μαθηματική λογική του διαγράμματος (1) όπου την κλίση την υπολογίζουμε ως προς τον άξονα xx’ (οριζόντιος άξονας), να υπολογίσουμε την κλίση της ευθείας του διαγράμματος (2) ως προς οριζόντιο άξονα. Όμως, όπως είπαμε, την ανεξάρτητη μεταβλητή που μετράμε στον οριζόντιο άξονα στα μαθηματικά, στην οικονομία την μετράμε στον κάθετο.

ΥΓ. Το σχολικό βιβλίο, στην ανάλυση της QD = α + βΡ, αναφέρει ότι «ο συντελεστής β εξαρτάται από την κλίση της ευθείας». Η λέξη εξαρτάται δείχνει γενικά μια σχέση. Ίσως θα μπορούσε να είναι περισσότερο συγκεκριμένο.

Η συνάρτηση ζήτησης QD = α + βΡ και η κλίση

/0 Comments/in /by

Έστω η συνάρτηση ζήτησης QD = 20 – 2P (1) που βέβαια είναι γραμμική (της γενικής μορφής) QD = α + βΡ.

Αν πάρουμε δύο ζεύγη τιμών και ζητούμενων ποσοτήτων , έστω Ρ = 2, QD = 16 και

Ρ = 4, QD = 12 και στη συνέχεια υπολογίσουμε το β βάση του τύπου που χρησιμοποιούμε

(β = ΔQD/ΔΡ) θα καταλήξουμε ότι β = - 4/2 = - 2.

Και πράγματι, αυτό εμφανίζεται στην συνάρτηση (1) και ασφαλώς θα επαληθευόταν για οποιοδήποτε άλλο ζεύγος τιμών - ζητούμενων ποσοτήτων, δεδομένου ότι όπως «λέμε» είναι η κλίση της ευθείας η οποία φυσικά παραμένει σταθερή σε όλα τα σημεία της.

Εάν όμως κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη συνέχεια υπολογίστε όπως ξέρετε στα μαθηματικά (με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται με τον άξονα xx’) τον συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) αυτής της ευθείας θα βρείτε ότι η κλίση ισούται με – 2 ή με κάποιο «άλλο αριθμό;»

Αφού το κάνετε μάλλον θα διαπιστώσετε ότι «κάτι δεν πάει καλά..»

Θα έχει ενδιαφέρον για εσας να βρείτε που είναι το πρόβλημα..

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή - Σημείου vs τόξου

/0 Comments/in , /by

Έστω η γραμμική συνάρτηση ζήτησης QD = 20 - 2P, ενός αγαθού Χ.

Για τιμές 2, 4 και 8, οι ζητούμενες ποσότητες (βάση της συνάρτησης) εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα ζήτησης.

PQD
216
412
84

 

Υπολογισμός ED σημείου

1)Η αρχική τιμή Ρ1=2 αυξάνεται σε Ρ2=4 (αύξηση 100%)

ED=ΔQD/ΔΡ*P1/QD1 = - 4/2*2/16 = - 0,25

2) Η αρχική τιμή Ρ1=2 αυξάνεται σε Ρ3=8 (αύξηση 300%)

ED=ΔQD/ΔΡ*P1/QD1 = - 12/6*2/16 = - 0,25

Συμπέρασμα

Είτε αυξηθεί η αρχική τιμή Ρ1 = 2 κατά 100%, είτε κατά 300%, ο βαθμός αντίδρασης του καταναλωτή  παραμένει σταθερός (ED = - 0,25). Δηλαδή για τον καταναλωτή εμφανίζεται να είναι "αδιάφορο" αν τα 2 € που πλρώνει για ένα αγαθό γίνουν 4 € ή 8€. Γνωρίζοντας τον εισοδηματικό περιορισμό,  βρίσκεται λογικό να συμβαίνει;

 

Υπολογισμός ED τόξου

Με τα προηγούμενα δεδομένα αύξησης της τιμής

1)ED=ΔQD/ΔΡ*P1+Ρ2/QD1+QD2 = - 4/2* 2+4/16+12 = - 0,42

2)ED=ΔQD/ΔΡ*P1+Ρ3/QD1+QD3 = - 12/6* 2+8/16+4 = - 1

Συμπέρασμα

Εδώ παρατηρούμε ότι ο βαθμός αντίδρασης του καταναλωτή στις συγκεκριμένες μεταβολές της τιμής διαφοροποιείται. Συγκεκριμένα, είναι μεγαλύτερος στην μεγαλύτερη ποσοστιαία μεταβολή της τιμής. Αυτό μήπως το θεωρείται περισσότερο "λογικό";

 

Κλείνοντας

Αφού λάβουμε υπόψη ότι η ED δείχνει την ποσοστιαία μείωση της ζητούμενης ποσότητας σε μια αύξηση της τιμής κατά 1%, είμαστε πιο κοντά να καταλήξουμε στα παρακάτω:

Η ED τόξου είναι πολύ περισσότερο αντιπροσωπευτική του βαθμού αντίδρασης των καταναλωτών σε μεταβολή της τιμής των αγαθών. Ιδιαίτερα αν η μεταβολή της τιμής είναι μεγάλη.

Η ED σημείου, στην πραγματικότητα χρησιμοποιείται για απειροελάχιστες ή πολύ  μικρές μεταβολές της τιμής ενός αγαθού.

ΥΓ.Η προηγούμενη ανάλυση δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Και βέβαια σκοπός της δεν είναι να "μπερδέψει" τους μαθητές σε αυτά που διδάσκονται για τις πανελλαδικλές εξετάσεις, αλλά να αναφέρει πότε χρησιμοποιούμε την ED σημείου και τόξου στην πραγματικότητα.

 

Όνειρο

/0 Comments/in /by

Δεν εμφανίστηκε έτσι ξαφνικά ένα βράδυ,

σε μια στιγμή επικοινωνίας του συνειδητού με το ασυνείδητο.

Ήταν δουλεμένο από παλιά,

πολύ πίσω στο χρόνο.

Τα κομμάτια του, είχαν με κάθε λεπτομέρεια φωτογραφηθεί

με μια απόλυτα αρμονική  μεταφορά των θέλω στη σκέψη.

Αδιαπραγμάτευτα είχε αποκλείσει την κάθε αλλαγή,

το λιγότερο του ήταν άγνωστη λέξη.

Με μανία προσπάθησε για το πέρασμά του στην ζωή.

Το μονοπάτι όμως ήταν αδιάβατο.

Έπρεπε να αποδεχτεί ότι δεν θα ζούσε.

Ήταν όμως όνειρο, και τα «πρέπει» του ήταν άγνωστα.

 

ΜΑΝ

Χρηματικό και πραγματικό κόστος αγαθού. Πως συνδέονται

/0 Comments/in , /by

Τροφή σκέψης για τους μαθητές

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται ότι «Το χρηματικό κόστος δεν είναι παρά το πραγματικό ή εναλλακτικό κόστος εκφρασμένο σε χρήμα (π.χ. ευρώ)».

Ίσως αυτή η πρόταση να μην είναι κατανοητή από το σύνολο των μαθητών, οπότε θα δυσκολευτούν να απαντήσουν σε πιθανό σχετιζόμενο ερώτημα.

Θα ήθελα να σας πω τι ΔΕΝ σημαίνει.

Για παράδειγμα, αν το ΚΕΧ (σε όρους του Ψ) ισούται με 2. Αυτό ΔΕΝ σημαίνει ότι το χρηματικό κόστος του αγαθού Χ ισούται με 2. Και αυτό γιατί το 2 εκφράζει ποσότητα αγαθού και όχι χρηματική αξία αγαθού.

Έχει ενδιαφέρον για τους μαθητές να σκεφτούν ποιο στοιχείο του Ψ τους λείπει για να μπορέσουν, σε αυτή την περίπτωση, να υπολογίσουν το χρηματικό κόστους του αγαθού Χ.

Για σκεφτείτε το και εδώ είμαστε..

Τα 13 ταξίδια

/0 Comments/in , /by

Απόσπασμα από το υπό έκδοση μυθιστόρηαμα "Τα 13 Ταξίδια".

13ο, το τελευταίο ταξίδεμα

 

Ποτέ δεν το θεώρησε σαν ένα «τυχαίο» αντάμωμα. Άλλωστε, δεν δεχόταν ότι η τύχη ήταν εκείνη που είχε καθορίσει τα ταξιδέματά της μέχρι τότε ζωής  του. Αντίθετα, αυτά ήταν  εκδήλωση των θέλω του.

Και αυτό το τελευταίο ταξίδι, ήταν σχεδιασμένο στην επιθυμία της σκέψης του, από πολύ παλιά. Από τότε που ζούσε την εφηβεία του. Από τα 15 χρόνια του.

Ήταν πολύ συγκεκριμένο αυτό που έψαχνε. Ήταν το ιδανικό για την ενεργοποίηση όλων των κρυμμένων ή φανερών του μέσα του. Δεν ήταν συγκρίσιμο, μια και η λέξη που το χαρακτήριζε ήταν «μοναδικό».  Και είχαμε πει και πριν, ότι του πήρε μόλις 17 λεπτά για να συνειδητοποιήσει ότι αυτό το ταξίδι θα ήταν, επειδή αυτός το ήθελε, και το τελευταίο του.

 

Μια νέα ζωή

Περιπλανήθηκε σε πρωτόγνωρα μέρη. Ακολούθησε «θαλασσινά» μονοπάτια άγνωστα στο πριν. Γνώρισε ομορφιές ζωής που δεν τις ήξερε. Εμπνεύστηκε για πολλά, και μάλλον για τα πάντα. Ήταν ΤΟ ταξίδι ΤΟΥ. Εκείνο που η λέξη «φτάνει» δεν υπήρχε. Μόνο το περισσότερο, και μετά από αυτό, αυτή η τελευταία λέξη να εμφανίζεται και πάλι στα θέλω του.

Μέσα σε αυτή την παραζάλη της απόλαυσης, στην πραγμάτωση του ονείρου, δεν υπήρχε χώρος για λογική.  Τα συναισθήματα την είχαν κερδίσει εξολοκλήρου. Ουσιαστικά την είχαν διαγράψει.

 

Ο χρόνος

Όμως μια άλλη λέξη, αυτή που ακούει στο όνομα «χρόνος» ήταν εκεί. Στην αρχή καλυμμένη, λες και απουσίαζε, αλλά αργότερα, στην ώρα των σημαντικών - των πράγματι πολύ δύσκολων αποφάσεων, παρούσα, σκληρή, αμείλικτη.

Ήταν η στιγμή, που ένα, όχι νέο πια σκαρί, έπρεπε να αποδεχτεί την πολύ δύσκολη αλήθεια. Την πραγματικότητα.

Και αυτή ήταν η δυσκολότερη προσπάθεια συνειδητοποίησης της ζωής του. Κάτι μη ελεγχόμενο, κάτι πολύ πάνω από τις δυνάμεις του. Ακουγόταν σαν «δεν πρέπει πια να θέλεις». Ναι, αλλά υπάρχει «πρέπει» στο όνειρο;

Κλείστηκε. Ο μόνος που επικοινωνούσε ήταν ο εαυτός του. Και αυτές, οι τόσο αποκλειστικές συζήτήσεις, δεν είναι πάντα ακίνδυνες.

Σκέφτηκε πολλά, αντιφατικά αλλά και ιδιαίτερα ακραία για την μέχρι τότε λογική του. Την τελική , αναγκαστική απόφαση για το πως «σπάει ένα όνειρο», θα την έπαιρνε στο λίγο μετά...